SAC e SAM

Esta aula cobre o Sistema de Amortização Constante (SAC) e o Sistema de Amortização Misto (SAM) — os principais concorrentes do Sistema Price em provas de auditoria. O SAC é mais simples de calcular que o Price (não exige fórmula de anuidade), mas exige compreensão clara da sua lógica: a amortização é fixa e os juros caem, o que faz a prestação diminuir ao longo do tempo. O SAM é uma média entre Price e SAC, aparece com menor frequência e quase sempre de forma conceitual. Em prova, o que mais cai é a comparação entre sistemas: qual paga mais juros no total, qual tem prestação inicial maior, qual é mais vantajoso para o devedor. Processe assim: domine o SAC por dentro (calcule cada linha da tabela com facilidade), fixe as diferenças conceituais entre os três sistemas, e treine as comparações diretas — essa é a habilidade mais exigida quando o tema aparece em questões de concurso para auditoria.

📊 Sistema SAC e SAM

1. 🔑 Sistema de Amortização Constante (SAC)

O que define o SAC

No SAC, a amortização — a parcela que efetivamente abate a dívida — é constante e igual em todos os períodos. Como os juros incidem sobre o saldo devedor (que cai a cada período), e a amortização não muda, a prestação total decresce ao longo do tempo.

🔒 Amortização constante — mesma em todos os períodos
📉 Juros decrescentes — incidem sobre saldo menor a cada período
📉 Prestação decrescente — cai a cada período, pois é a soma de A (fixo) + J (decrescente)
📉 Saldo devedor cai linearmente — redução constante a cada período

📖 "No Sistema de Amortização Constante, as amortizações são iguais durante toda a vigência do contrato, enquanto as prestações e os encargos de juros são decrescentes. O saldo devedor é reduzido de forma linear, o que implica menor custo total de juros em comparação ao Sistema Price para os mesmos dados de capital, taxa e prazo." — Definição consolidada em Matemática Financeira aplicada a concursos.

📐 Fórmulas do SAC

Amortização constante (igual em todos os períodos):

\[ A = \frac{PV}{n} \]

Saldo devedor no início do período $k$ (antes do pagamento):

\[ SD_{k-1} = PV - (k-1) \cdot A = PV \cdot \left(1 - \frac{k-1}{n}\right) \]

Juros do período $k$:

\[ J_k = SD_{k-1} \cdot i = PV \cdot \left(1 - \frac{k-1}{n}\right) \cdot i \]

Prestação do período $k$:

\[ PMT_k = A + J_k = \frac{PV}{n} + SD_{k-1} \cdot i \]

⚠️ Atenção ao saldo devedor no SAC: O saldo cai de forma linear — redução constante de $A = PV/n$ a cada período. Isso é diferente do Price, em que o saldo cai de forma mais lenta no início (saldo exponencialmente maior nos primeiros períodos). No SAC, após metade dos períodos, exatamente metade do valor financiado já foi amortizado.

📋 Exemplo numérico — SAC

Financiamento de R$ 12.000, 4 períodos, taxa de 5% ao período.

Amortização constante: $ A = 12.000 / 4 = \text{R\$ } 3.000 $

Período 1: SD₀ = R$ 12.000 | J = 12.000 × 5% = R$ 600 | A = R$ 3.000 | PMT = R$ 3.600 | SD₁ = R$ 9.000
Período 2: SD₁ = R$ 9.000 | J = 9.000 × 5% = R$ 450 | A = R$ 3.000 | PMT = R$ 3.450 | SD₂ = R$ 6.000
Período 3: SD₂ = R$ 6.000 | J = 6.000 × 5% = R$ 300 | A = R$ 3.000 | PMT = R$ 3.300 | SD₃ = R$ 3.000
Período 4: SD₃ = R$ 3.000 | J = 3.000 × 5% = R$ 150 | A = R$ 3.000 | PMT = R$ 3.150 | SD₄ = R$ 0

Total de juros: $ 600 + 450 + 300 + 150 = \text{R\$ } 1.500 $

💡 Dica de prova — atalho para juros totais no SAC: Como os juros formam uma progressão aritmética decrescente, o total de juros pode ser calculado diretamente: \[ J_{\text{total}} = \frac{J_1 + J_n}{2} \times n = \frac{PV \cdot i + A \cdot i}{2} \times n \] No exemplo: $ (600 + 150)/2 \times 4 = 375 \times 4 = \text{R\$ } 1.500 $. Confirma sem somar linha por linha.

2. 🔀 Sistema de Amortização Misto (SAM)

O que define o SAM

O SAM é a média aritmética entre o Sistema Price e o SAC em cada período. Tanto a prestação quanto os demais componentes são calculados fazendo-se a média entre os valores correspondentes dos dois sistemas.

\[ PMT_k^{\text{SAM}} = \frac{PMT_k^{\text{Price}} + PMT_k^{\text{SAC}}}{2} \]

O mesmo vale para juros, amortização e saldo devedor de cada período:

\[ X_k^{\text{SAM}} = \frac{X_k^{\text{Price}} + X_k^{\text{SAC}}}{2} \]

💡 Dica de prova — SAM em prova: O SAM raramente aparece com cálculo detalhado. Quando aparece, é quase sempre de forma conceitual: "qual sistema é a média entre Price e SAC?" ou "a prestação do SAM é crescente, decrescente ou constante?". A resposta para a segunda: decrescente — pois o SAC tem prestação decrescente e o Price tem prestação constante; a média das duas é decrescente.

⚠️ Atenção às prestações do SAM: No SAM, as prestações são decrescentes (não constantes como no Price e não tão decrescentes quanto no SAC). A prestação inicial do SAM é menor que a do SAC e maior que a do Price. A prestação final do SAM é menor que a do Price e maior que a do SAC.

3. ⚖️ Comparação entre os Sistemas — O Que Mais Cai em Prova

🏆 Custo total de juros

Para o mesmo capital, taxa e prazo:

\[ J_{\text{Price}} > J_{\text{SAM}} > J_{\text{SAC}} \]

O SAC tem o menor custo total porque amortiza mais rápido — o saldo devedor cai mais depressa, reduzindo a base de cálculo dos juros desde o primeiro período.

📊 Prestação inicial

\[ PMT_1^{\text{SAC}} > PMT_1^{\text{SAM}} > PMT_1^{\text{Price}} \]

A primeira prestação do SAC é sempre a maior entre os sistemas. O Price, com prestação menor no início (mas constante), parece mais acessível — razão pela qual é mais usado no varejo e no crédito ao consumidor.

📊 Prestação final

\[ PMT_n^{\text{Price}} > PMT_n^{\text{SAM}} > PMT_n^{\text{SAC}} \]

A última prestação do SAC é sempre a menor. O Price mantém o valor da última prestação igual ao da primeira.

⚠️ Pegadinha clássica de comparação: "Qual sistema é mais vantajoso para o devedor?" — a resposta depende da perspectiva:

Em custo total: SAC é melhor (menos juros pagos).
Em fluxo de caixa inicial: Price é melhor (prestação inicial menor).

O enunciado sempre precisa especificar o critério. Quando fala em "menor custo total" ou "menos juros pagos", a resposta é SAC.

📋 Quadro comparativo rápido

Amortização: SAC = constante | Price = crescente | SAM = crescente (média)
Prestação: SAC = decrescente | Price = constante | SAM = decrescente
Juros: todos decrescentes (sempre incidem sobre saldo menor)
Saldo devedor: SAC = cai linearmente | Price = cai mais lento no início
Juros totais: Price > SAM > SAC
Prestação inicial: SAC > SAM > Price

4. 🎯 Como Isso Aparece em Prova

Padrão 1 — Identificação do sistema pelo comportamento

O enunciado descreve um financiamento e pergunta qual sistema está sendo usado. Amortização constante → SAC. Prestação constante → Price. Prestação decrescente com amortização também decrescente → não é SAC nem Price puros (verifique se é SAM ou outro).

Padrão 2 — Cálculo simples de linha da tabela SAC

Dados PV, n e i, calcule a prestação do período $k$. Roteiro: $ A = PV/n $ → $ SD_{k-1} = PV - (k-1) \cdot A $ → $ J_k = SD_{k-1} \cdot i $ → $ PMT_k = A + J_k $.

Padrão 3 — Comparação de custo total entre sistemas

Qual sistema paga mais juros? Price (sempre o maior). Qual paga menos? SAC. Essa comparação é quase automática e aparece tanto em questões conceituais quanto em cálculo direto.

Padrão 4 — Questão conceitual sobre o SAM

O examinador pergunta o que é o SAM, qual a ordem das prestações ou como se calcula. Resposta sempre pela média entre Price e SAC. Prestação do SAM é decrescente.

💡 Dica final de prova: Em questões que comparam sistemas, mapeie mentalmente assim:

✅ "Menor custo total / menos juros" → SAC
✅ "Menor prestação inicial / mais acessível no começo" → Price
✅ "Prestação constante" → Price
✅ "Amortização constante" → SAC
✅ "Média entre Price e SAC" → SAM

📝 Resumo Final — Leia na véspera da prova

🔒 SAC — amortização constante: $ A = PV/n $. Igual em todos os períodos.
📉 SAC — prestação decrescente: $ PMT_k = A + J_k $. Cai a cada período porque $J_k$ cai.
📐 SAC — saldo devedor: $ SD_{k-1} = PV \cdot (1 - (k-1)/n) $. Queda linear.
📉 SAC — juros do período $k$: $ J_k = SD_{k-1} \cdot i $. Formam progressão aritmética decrescente.
💡 Juros totais SAC (atalho): média entre $J_1$ e $J_n$, multiplicada por $n$.
🔀 SAM: média aritmética entre Price e SAC em cada período. Prestação decrescente.
🏆 Custo total de juros: Price > SAM > SAC. SAC é sempre o mais barato no total.
📊 Prestação inicial: SAC > SAM > Price. Price é o mais acessível no começo.
📊 Prestação final: Price > SAM > SAC. SAC é o mais barato no fim.
⚠️ Juros são decrescentes nos três sistemas — incidem sempre sobre saldo menor a cada período.
🎯 Identificação rápida: amortização constante → SAC | prestação constante → Price | média dos dois → SAM.

Exercícios de Fixação

Questão 1 de 20

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