Sistema Price (Francês)

O Sistema Price (também chamado Sistema Francês de Amortização) é o modelo de financiamento mais utilizado no Brasil e um dos temas mais cobrados em provas de concurso. Se você já domina renda uniforme postecipada, já conhece o mecanismo central do Price: a prestação é fixa e calculada exatamente pela fórmula do PMT da anuidade postecipada. O que a prova explora não é o cálculo da prestação em si, mas a leitura e interpretação da tabela de amortização: entender por que os juros caem, por que a amortização sobe, como calcular o saldo devedor em qualquer período sem montar a tabela inteira, e identificar o comportamento das parcelas ao longo do tempo. Processe assim: entenda a estrutura da tabela (coluna por coluna), fixe as relações entre juros, amortização e saldo devedor, e treine calcular o saldo em um período específico usando a fórmula direta — essa é a habilidade mais exigida em prova.

🏦 Sistema Price (Francês de Amortização)

1. 🔑 O Que Define o Sistema Price

O Sistema Price tem três características que o identificam imediatamente:

🔒 Prestação (PMT) constante do primeiro ao último período
📉 Juros decrescentes a cada período (incidem sobre saldo devedor menor)
📈 Amortização crescente a cada período (a diferença que sobra depois dos juros)

A lógica é simples: como a prestação é fixa e os juros caem, a parcela destinada a abater a dívida (amortização) necessariamente cresce. A soma sempre fecha:

\[ \text{Prestação} = \text{Juros do período} + \text{Amortização do período} \]

📖 "No Sistema Francês de Amortização, as prestações são iguais e sucessivas, compostas de uma parcela de juros decrescente e uma parcela de amortização crescente, de forma que a soma das duas é sempre constante e igual ao valor da prestação pactuada." — Definição consolidada em Matemática Financeira e Direito Bancário aplicados a concursos.

2. 📐 Cálculo da Prestação (PMT)

A prestação do Sistema Price é calculada pela fórmula da renda uniforme postecipada — o financiamento é exatamente uma série de pagamentos iguais ao final de cada período:

\[ PMT = PV \cdot \frac{i}{1-(1+i)^{-n}} \]

onde:

$ PV $ = valor financiado (saldo devedor inicial)
$ i $ = taxa de juros efetiva do período (mesma unidade do intervalo entre prestações)
$ n $ = número total de prestações

⚠️ Atenção à taxa: Se o financiamento é mensal e a taxa fornecida é anual, converta para a taxa mensal equivalente em regime composto antes de calcular o PMT. Usar a taxa anual com $n$ em meses é erro eliminatório no Price — e a pegadinha favorita das bancas.

3. 📋 Estrutura da Tabela de Amortização

A tabela do Price tem cinco colunas. Entender o que cada uma representa é o núcleo do que a prova testa:

Período (k): número da prestação, de 1 a $n$. O período 0 é o momento do financiamento (saldo inicial = PV).
Saldo Devedor Inicial (SD_k-1): dívida no início do período $k$, antes do pagamento. No período 1, é igual ao PV.
Juros do Período (J_k): calculado sobre o saldo devedor do início do período: $ J_k = SD_{k-1} \cdot i $
Amortização (A_k): parcela que reduz a dívida: $ A_k = PMT - J_k $
Saldo Devedor Final (SD_k): dívida após o pagamento: $ SD_k = SD_{k-1} - A_k $

💡 Dica de prova — relação entre amortizações: No Sistema Price, as amortizações formam uma progressão geométrica de razão $(1+i)$. A amortização do período $k$ é: \[ A_k = A_1 \cdot (1+i)^{k-1} \] Isso permite calcular qualquer amortização diretamente, sem montar a tabela inteira.

4. 🔢 Exemplo Numérico — Lendo a Tabela

Financiamento de R$ 10.000, 3 períodos, taxa de 10% ao período. PMT calculado:

\[ PMT = 10.000 \cdot \frac{0{,}10}{1-(1{,}10)^{-3}} = 10.000 \cdot \frac{0{,}10}{1 - 0{,}7513} = 10.000 \cdot \frac{0{,}10}{0{,}2487} \approx \text{R\$ } 4.021 \]

Evolução período a período:

Período 0: Saldo inicial = R$ 10.000
Período 1: J = 10.000 × 10% = R$ 1.000 | A = 4.021 − 1.000 = R$ 3.021 | SD = 10.000 − 3.021 = R$ 6.979
Período 2: J = 6.979 × 10% = R$ 698 | A = 4.021 − 698 = R$ 3.323 | SD = 6.979 − 3.323 = R$ 3.656
Período 3: J = 3.656 × 10% = R$ 366 | A = 4.021 − 366 = R$ 3.655 | SD = 3.656 − 3.655 ≈ R$ 0

💡 Dica de leitura da tabela: Observe que os juros caem de R$ 1.000 → R$ 698 → R$ 366 e a amortização sobe de R$ 3.021 → R$ 3.323 → R$ 3.655. A razão entre amortizações consecutivas é sempre $ (1+i) = 1{,}10 $: $ 3.323/3.021 \approx 1{,}10 $. Esse é o padrão que a banca testa.

5. 🎯 Calculando o Saldo Devedor Sem Montar a Tabela

Em provas, a questão costuma pedir o saldo devedor após o pagamento de $k$ prestações, sem exigir que você monte a tabela toda. Use a fórmula direta:

\[ SD_k = PV \cdot (1+i)^k - PMT \cdot \frac{(1+i)^k - 1}{i} \]

Interpretação: o saldo devedor após $k$ períodos é o capital original capitalizado por $k$ períodos menos o montante acumulado das $k$ prestações já pagas.

⚠️ Forma alternativa — valor presente das prestações restantes: O saldo devedor após $k$ pagamentos também é igual ao valor presente das $(n-k)$ prestações ainda não pagas: \[ SD_k = PMT \cdot \frac{1-(1+i)^{-(n-k)}}{i} \] Essa forma é mais intuitiva e frequentemente mais rápida em prova quando o enunciado fornece o FVPS ou o fator de desconto da série restante.

6. 📊 Comportamentos do Sistema Price — O Que a Prova Testa

📉 Juros

Decrescem período a período, pois incidem sobre saldo devedor menor.
O juro do período 1 é sempre o maior: $ J_1 = PV \cdot i $.
O juro do último período é sempre o menor.

📈 Amortização

Cresce período a período em progressão geométrica de razão $(1+i)$.
A amortização do período 1 é sempre a menor: $ A_1 = PMT - PV \cdot i $.
A amortização do último período é sempre a maior.

🔒 Prestação

Constante do primeiro ao último período — essa é a marca do Price.
A soma de todas as amortizações é sempre igual ao PV (valor financiado).
A soma de todos os juros é o custo total do financiamento.

⚠️ Pegadinha de comparação: O enunciado pode perguntar se o total pago no Price é maior ou menor que em outro sistema. A resposta é: no Price, paga-se mais juros totais que no SAC, pois a amortização inicial é menor (a dívida demora mais para cair). O SAC amortiza mais rápido no início, reduzindo a base de cálculo dos juros mais rapidamente.

7. 🎯 Como Isso Aparece em Prova

Padrão 1 — Interpretação de tabela incompleta

A prova apresenta uma tabela com alguns valores omitidos e pede para preencher a lacuna. Roteiro: identificar qual coluna está faltando → aplicar a relação $ PMT = J_k + A_k $ e $ SD_k = SD_{k-1} - A_k $.

Padrão 2 — Saldo devedor em período específico

Dados PV, i, n e PMT, calcule o saldo após $k$ pagamentos. Use a forma do valor presente das prestações restantes: $ SD_k = PMT \cdot \dfrac{1-(1+i)^{-(n-k)}}{i} $.

Padrão 3 — Identificar o sistema pelo comportamento

O enunciado descreve um financiamento e pergunta qual sistema está sendo usado. Prestação constante → Price. Amortização constante → SAC. Saldo devedor que cai mais rápido no início → SAC.

Padrão 4 — Comparação entre sistemas

Qual sistema gera maior custo total? Price (prestações constantes mas mais juros) ou SAC (prestações decrescentes, amortização constante, menos juros totais)? → SAC tem menor custo total; Price tem prestações iniciais menores.

💡 Dica de prova — checklist de identificação:

✅ Prestação constante → Price
✅ Amortização constante → SAC
✅ Juros decrescentes + amortização crescente → Price
✅ Prestação decrescente → SAC
✅ Maior custo total de juros → Price

📝 Resumo Final — Leia na véspera da prova

🔒 PMT constante — marca definitiva do Sistema Price. Nunca muda do período 1 ao $n$.
📐 Fórmula do PMT: $ PMT = PV \cdot \dfrac{i}{1-(1+i)^{-n}} $ — renda uniforme postecipada.
📉 Juros decrescentes: $ J_k = SD_{k-1} \cdot i $. Maior no período 1, menor no período $n$.
📈 Amortização crescente em progressão geométrica de razão $(1+i)$: $ A_k = A_1 \cdot (1+i)^{k-1} $.
➕ Identidade fundamental: $ PMT = J_k + A_k $ em todo período $k$.
🏦 Saldo devedor após $k$ pagamentos: $ SD_k = PMT \cdot \dfrac{1-(1+i)^{-(n-k)}}{i} $ — VP das prestações restantes.
💰 Soma de todas as amortizações = PV (o financiamento é totalmente quitado).
⚖️ Price vs SAC: Price tem mais juros totais; SAC amortiza mais rápido e é mais barato no total.
⚠️ Taxa e prazo: obrigatoriamente na mesma unidade. Taxa anual com parcelas mensais → converta para mensal equivalente antes de tudo.
🎯 Sequência mental: calcular PMT → montar linha a linha (J → A → SD) ou usar fórmula do SD direto.

Exercícios de Fixação

Questão 1 de 20

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