Frações, decimais e dízimas periódicas

Frações, decimais e dízimas periódicas são representações distintas de um mesmo universo — os números racionais — e aparecem em praticamente toda questão quantitativa de concursos de auditor fiscal, seja em cálculos diretos, seja embutidas em problemas de porcentagem, proporção e juros. Bancas como Cebraspe e FGV cobram tanto a mecânica operacional (simplificar, comparar, operar frações) quanto a teoria (identificar dízimas, converter representações, classificar números). Dominar as conversões entre as três formas e as propriedades das operações com frações é condição para resolver com segurança e velocidade.

🔢 Parte 1 — Frações: Conceito e Terminologia

📌 Definição e Elementos

Uma fração \( \frac{a}{b} \) representa a divisão de \( a \) por \( b \), com \( b \neq 0 \).
Numerador \( (a) \): indica quantas partes foram tomadas.
Denominador \( (b) \): indica em quantas partes iguais o todo foi dividido.
Fração própria: numerador menor que denominador → valor entre 0 e 1. Ex.: \( \frac{3}{5} \)
Fração imprópria: numerador maior ou igual ao denominador → valor ≥ 1. Ex.: \( \frac{7}{4} \)
Número misto: parte inteira + fração própria. Ex.: \( 1\frac{3}{4} = \frac{7}{4} \)

📐 Frações Equivalentes e Simplificação

Frações equivalentes representam o mesmo valor: \( \frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} \)
Obtêm-se multiplicando ou dividindo numerador e denominador pelo mesmo valor não nulo.
Simplificação: divide-se numerador e denominador pelo MDC (Máximo Divisor Comum).
Fração na forma irredutível: MDC(numerador, denominador) = 1.

💡 Para comparar frações rapidamente, use produtos cruzados: \( \frac{a}{b} \) e \( \frac{c}{d} \) → compare \( a \times d \) com \( b \times c \). O maior produto indica a maior fração. Não é preciso calcular o MMC para comparar.

⚖️ Comparação e Ordenação de Frações

Mesmo denominador: maior numerador → maior fração.
Mesmo numerador: maior denominador → menor fração (mais partes = partes menores).
Denominadores diferentes: reduza ao MMC ou use produtos cruzados.

⚠️ Quando o numerador é fixo, a fração diminui à medida que o denominador cresce. Esse comportamento é contraintuitivo e aparece em questões sobre ordenação: \( \frac{1}{3} > \frac{1}{5} > \frac{1}{7} \).

➕ Parte 2 — Operações com Frações

📌 Adição e Subtração

Mesmo denominador: opera-se apenas os numeradores e mantém o denominador. \[ \frac{3}{7} + \frac{2}{7} = \frac{5}{7} \]
Denominadores diferentes: reduz-se ao MMC primeiro. \[ \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12} \]
Números mistos: converta para fração imprópria antes de operar.

✖️ Multiplicação de Frações

Multiplica-se numerador com numerador e denominador com denominador: \[ \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} \]
Simplifique em diagonal (numerador de uma com denominador da outra) antes de multiplicar — evita números grandes.
Ex.: \( \frac{4}{9} \times \frac{3}{8} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6} \) (simplificando 4 com 8 e 3 com 9)

➗ Divisão de Frações

Dividir por uma fração = multiplicar pelo seu inverso (fração invertida): \[ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c} \]
Ex.: \( \frac{3}{5} \div \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \times \frac{10}{6} = \frac{30}{30} = 1 \)

💡 Multiplicar por \( \frac{1}{2} \) é o mesmo que dividir por 2. Dividir por \( \frac{1}{4} \) é o mesmo que multiplicar por 4. Use isso para agilizar cálculos com frações unitárias em provas.

⚠️ Na divisão, apenas a segunda fração se inverte. Inverter as duas ou nenhuma são erros clássicos de candidatos sob pressão de tempo.

📐 Potenciação e Radiciação de Frações

Potência: aplica-se o expoente a numerador e denominador separadamente: \[ \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27} \]
Fração elevada a expoente negativo: inverte e aplica o expoente positivo: \[ \left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^{2} = \frac{9}{4} \]
Raiz de fração: aplica-se a raiz a numerador e denominador: \[ \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4} \]

🔟 Parte 3 — Representação Decimal

📌 Conversão: Fração → Decimal

Divida o numerador pelo denominador (divisão longa ou mental).
\( \frac{3}{4} = 3 \div 4 = 0{,}75 \) → decimal finito (terminante)
\( \frac{1}{3} = 1 \div 3 = 0{,}333\ldots \) → dízima periódica
Decimais finitos têm denominador (na forma irredutível) com fatores primos apenas 2 e/ou 5.

📐 Quando a Fração Gera Decimal Finito?

Simplifique a fração ao máximo. Se o denominador resultante tiver somente fatores 2 e 5, o decimal é finito.
\( \frac{3}{8} \): denominador 8 = \( 2^3 \) → decimal finito: 0,375 ✔
\( \frac{3}{20} \): denominador 20 = \( 2^2 \times 5 \) → decimal finito: 0,15 ✔
\( \frac{2}{15} \): denominador 15 = \( 3 \times 5 \) → tem fator 3 → dízima periódica ✔

📎 Regra do denominador: na forma irredutível, se o denominador = \( 2^m \times 5^n \) (com \( m, n \geq 0 \)), o decimal é finito. Qualquer outro fator primo no denominador gera dízima periódica.

🔄 Conversão: Decimal → Fração

Decimal finito: escreva sem vírgula sobre a potência de 10 correspondente e simplifique. \[ 0{,}36 = \frac{36}{100} = \frac{9}{25} \]
Decimal com \( n \) casas: denominador é \( 10^n \). Ex.: 0,125 → \( \frac{125}{1000} = \frac{1}{8} \)

♾️ Parte 4 — Dízimas Periódicas

📌 Definição e Tipos

Dízima periódica: decimal infinito em que um bloco de dígitos se repete indefinidamente.
Período: o bloco que se repete. Notação: \( 0{,}\overline{3} \) (período 3), \( 0{,}\overline{142857} \) (período 142857).
Simples: a parte periódica começa imediatamente após a vírgula. Ex.: \( 0{,}\overline{7} \)
Composta: há uma parte não periódica entre a vírgula e o período. Ex.: \( 0{,}1\overline{6} \)

🔄 Conversão: Dízima Periódica Simples → Fração

O numerador é o período; o denominador é formado por tantos 9s quanto dígitos tem o período.
\( 0{,}\overline{3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \)
\( 0{,}\overline{27} = \frac{27}{99} = \frac{3}{11} \)
\( 0{,}\overline{142857} = \frac{142857}{999999} = \frac{1}{7} \)

🔄 Conversão: Dízima Periódica Composta → Fração

Numerador = (número formado por parte não periódica + período) − (parte não periódica).
Denominador = tantos 9s quanto dígitos do período, seguidos de tantos 0s quanto dígitos da parte não periódica.
Exemplo: \( 0{,}1\overline{6} \)
- Parte não periódica: 1 (um dígito → um zero no denominador)
- Período: 6 (um dígito → um 9 no denominador)
- Numerador: 16 − 1 = 15
- Denominador: 90
- Resultado: \( \frac{15}{90} = \frac{1}{6} \)
Exemplo: \( 0{,}41\overline{6} \)
- Parte não periódica: 41 (dois dígitos → dois zeros)
- Período: 6 (um dígito → um 9)
- Numerador: 416 − 41 = 375; Denominador: 900
- Resultado: \( \frac{375}{900} = \frac{5}{12} \)

💡 Memorize as dízimas mais cobradas em concursos: \( \frac{1}{3} = 0{,}\overline{3} \) · \( \frac{1}{6} = 0{,}1\overline{6} \) · \( \frac{1}{7} = 0{,}\overline{142857} \) · \( \frac{1}{9} = 0{,}\overline{1} \) · \( \frac{1}{11} = 0{,}\overline{09} \). Reconhecê-las de imediato economiza tempo precioso.

⚠️ \( 0{,}\overline{9} = 1 \) exatamente — não é aproximação. Pela fórmula: \( \frac{9}{9} = 1 \). Bancas inserem esse caso para testar se o candidato classifica 0,999… como irracional (errado) ou como o número natural 1 (correto).

⚡ Parte 5 — Estratégias para Prova

🎯 Frações Decimais Úteis para Memorizar

\( \frac{1}{2} = 0{,}5 \) · \( \frac{1}{4} = 0{,}25 \) · \( \frac{3}{4} = 0{,}75 \)
\( \frac{1}{5} = 0{,}2 \) · \( \frac{2}{5} = 0{,}4 \) · \( \frac{3}{5} = 0{,}6 \) · \( \frac{4}{5} = 0{,}8 \)
\( \frac{1}{8} = 0{,}125 \) · \( \frac{3}{8} = 0{,}375 \) · \( \frac{5}{8} = 0{,}625 \) · \( \frac{7}{8} = 0{,}875 \)
\( \frac{1}{3} \approx 0{,}333 \) · \( \frac{2}{3} \approx 0{,}667 \) · \( \frac{1}{6} \approx 0{,}167 \)

🔍 Identificação Rápida do Tipo de Decimal

Simplifique a fração → analise o denominador.
Apenas fatores 2 e 5 → decimal finito → racional terminante.
Qualquer outro fator primo → dízima periódica → racional não terminante.
Decimal infinito e não periódico → irracional → não pode ser escrito como fração.

📎 Checklist de classificação: (1) É inteiro? → ℤ. (2) É fração de inteiros? → ℚ. (3) É decimal finito? → ℚ. (4) É dízima periódica? → ℚ. (5) É decimal infinito não periódico? → Irracional ∈ ℝ \ ℚ.

⚡ Atalhos de Cálculo com Frações

Simplificação diagonal antes de multiplicar: evita produtos grandes e reduz erros.
MMC pelo método de decomposição simultânea: mais rápido que fatoração individual para adição de múltiplas frações.
Estimativa decimal: converta as frações para decimal aproximado para checar se a alternativa faz sentido antes de calcular o exato.
Fração ÷ fração com mesmo numerador: \( \frac{a}{b} \div \frac{a}{c} = \frac{c}{b} \) — o numerador cancela diretamente.

📋 Parte 6 — Resumo: Gatilhos de Memória para o Dia da Prova

Fração própria: numerador menor que denominador · valor entre 0 e 1
Fração imprópria: numerador ≥ denominador · valor ≥ 1 · conversível a número misto
Equivalentes: multiplica ou divide numerador e denominador pelo mesmo valor
Simplificação: divide pelo MDC até forma irredutível
Comparação rápida: produtos cruzados · mesmo numerador → maior denominador = menor fração
Adição/subtração: denominadores iguais → opera numeradores · diferentes → MMC primeiro
Multiplicação: numerador × numerador / denominador × denominador · simplifica em diagonal antes
Divisão: mantém a primeira · inverte a segunda · multiplica · só a segunda inverte
Potência negativa de fração: inverte a fração e aplica o expoente positivo
Decimal finito: denominador irredutível com fatores apenas 2 e/ou 5
Decimal → fração: numerador sem vírgula / 10ⁿ (n = casas decimais) · simplifica
Dízima simples → fração: período / (9s repetidos igual ao tamanho do período)
Dízima composta → fração: (não periódica + período) − (não periódica) / (9s + 0s)
0,999… = 1: dízima periódica exata · racional · natural
Irracional: decimal infinito NÃO periódico · não converte em fração
Dízimas para memorizar: 1/3 = 0,333… · 1/6 = 0,1666… · 1/7 = 0,142857… · 1/9 = 0,111… · 1/11 = 0,0909…
Frações decimais úteis: 1/4 = 0,25 · 1/8 = 0,125 · 3/8 = 0,375 · 3/4 = 0,75

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